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Ecco come si sarebbe potuto risolvere l’integrale proposto oggi.

Tre considerazioni:

1) non credo mi sarebbe venuto in mente in tempi ragionevoli

2) talvolta i temi di maturità sono davvero troppo ottimisti sulla nostra creatività risolutiva

3) … magari invece di tenere proprio tutti i dubbi sui calcoli per la classe prima fate un tentativo… magari con WolframAlpha

Possible intermediate steps:
 integral sqrt(1-t^2) dt
For the integrand, sqrt(1-t^2) substitute t = sin(u) and  dt = cos(u)  du. Then sqrt(1-t^2) = sqrt(1-sin^2(u)) = cos(u) and u = sin^(-1)(t):
 =  integral cos^2(u) du
Write cos^2(u) as 1/2 cos(2 u)+1/2:
 =  integral (1/2 cos(2 u)+1/2) du
Integrate the sum term by term and factor out constants:
 =  integral 1/2 du+1/2 integral cos(2 u) du
For the integrand cos(2 u), substitute s = 2 u and  ds = 2 du:
 = 1/4 integral cos(s) ds+ integral 1/2 du
The integral of cos(s) is sin(s):
 = (sin(s))/4+ integral 1/2 du
The integral of 1/2 is u/2:
 = (sin(s))/4+u/2+constant
Substitute back for s = 2 u:
 = u/2+1/4 sin(2 u)+constant
Substitute back for u = sin^(-1)(t):
 = 1/2 sqrt(1-t^2) t+1/2 sin^(-1)(t)+constant
Which is equal to:
 = 1/2 (sqrt(1-t^2) t+sin^(-1)(t))+constant